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黎曼猜想の説明

Chinese Pronunciation Proper noun 黎曼猜想 Riemann hypothesis

黎曼猜想（英語：Riemann hypothesis，RH）由德国數學家波恩哈德·黎曼於1859年提出。它是數學中一個重要而又著名的未解決的問題，有「猜想界皇冠」之稱，多年來它吸引了許多出色的數學家為之絞盡腦汁。其猜想為：黎曼ζ函數， ζ ( s ) = 1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + ⋯ {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots } 。非平凡零點（在此情況下是指 s {\displaystyle s} 不為 − 2 {\displaystyle -2} 、 − 4 {\displaystyle -4} 、 − 6 ⋯ {\displaystyle -6\cdots } 等點的值）的實數部份是 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 。黎曼猜想是關於黎曼ζ函數 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} 的零點分佈的猜想。黎曼ζ函數在任何複數 s ≠ 1 {\displaystyle s\neq 1} 上有定義。它在負偶數上也有零點（例如，當 s = − 2 , s = − 4 , s = − 6 , ⋯ {\displaystyle s=-2,s=-4,s=-6,\cdots } ）。這些零點是「平凡零點」。黎曼猜想關心的是非平凡零點。黎曼猜想提出：黎曼ζ函數非平凡零點的實數部份是 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 即所有的非平凡零點都應該位於直線 1 2 + t i {\displaystyle {\frac {1}{2}}+t\mathbf {i} } （“臨界綫”）上。 t {\displaystyle t} 為一實數，而 i {\displaystyle \mathbf {i} } 為虛數的基本單位。沿臨界綫的黎曼ζ函數有時通過Z-函數進行研究。它的實零點對應於ζ函數在臨界綫上的零點。素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布並没有簡單的規律。黎曼（1826－1866）发现素数出现的频率与黎曼ζ函數紧密相关。 1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想與强条件的素數定理 π ( x ) = Li ⁡ ( x ) + O ( x ln ⁡ x ) {\displaystyle \pi \left(x\right)=\operatorname {Li} (x)+O\left({{\sqrt {x}}\ln x}\right)} 等價。现在已经验证了最初的1,500,000,000个素數對這個定理都成立。但是是否所有的解對此定理都成立，至今尚無人給出證明。黎曼猜想之所以被認爲是當代數學中一個重要的問題，主要是因為很多深入和重要的數學和物理結果都能在它成立的大前提下得到證明。大部份數學家也相信黎曼猜想的正確性（約翰·恩瑟·李特爾伍德與阿特勒·塞爾伯格曾提出懷疑。塞爾伯格于晚年部分改變了他的懷疑立場。在1989年的一篇論文中，他猜測黎曼猜想對更廣泛的一類函數也應當成立）。克雷數學研究所設立了$1,000,000美元的奬金給予第一個得出正確證明的人。