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椭圆曲线

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椭圆曲线

椭圆曲线の説明

Chinese

在數學上，橢圓曲線（英語：Elliptic curve，縮寫為EC）為一平面代數曲線，由如下形式的方程定义 y 2 = x 3 + a x + b {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b\,} ，且满足其是無奇點的；亦即，其圖形沒有尖點或自相交。（当系数域的特征为2或3时，上面的方程不能涵盖所有非奇异的三次曲线；见下面的#一般域上的椭圆曲线。）正式地，椭圆曲线是光滑的、射影的、亏格为1的代数曲线，其上有一个特定的点O。椭圆曲线是阿贝尔簇 – 也就是说，它有代数上定义的乘法，并且对该乘法形成阿贝尔群 – 其中 O即为单位元。若 y 2 = P ( x ) {\displaystyle y^{2}=P(x)\,} ，其中P為任一沒有重根的三次或四次多項式，然後可得到一虧格1的無奇點平面曲線，其通常亦被稱為橢圓曲線。更一般化地，一虧格1的代數曲線，如兩個三維二次曲面相交，即稱為橢圓曲線。运用椭圆函数理论，可以证明定义在复数上的椭圆曲线对应于环面在复射影平面内的嵌入。环面也是一个阿贝尔群，事实上，这个对应也是一个群同构。椭圆曲线的形狀不是椭圆。命名為椭圆曲线的原因是此曲线原來和椭圆函数有關。在拓扑学上，複數的椭圆曲线是环面，而複數的椭圆會是球面。