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杨辉三角形

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杨辉三角形

杨辉三角形の説明

Chinese

杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、賈憲三角形、海亚姆三角形、巴斯卡三角形，是二项式系數的一种写法，形似三角形，在中国首现于南宋杨辉的《詳解九章算法》得名，其在书中说明是引自贾宪的《释锁算书》，故又名贾宪三角形。前 9 行写出来如下： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 {\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\1\quad 8\quad 28\quad 56\quad 70\quad 56\quad 28\quad 8\quad 1\\\end{array}}} 杨辉三角形第 n {\displaystyle n} 层（顶层称第 0 层，第 1 行，第 n {\displaystyle n} 层即第 n + 1 {\displaystyle n+1} 行，此处 n {\displaystyle n} 为包含 0 在内的自然数）正好对应于二项式 ( a + b ) n {\displaystyle \left(a+b\right)^{n}} 展开的系数。例如第二层 1 2 1 是幂指数为 2 的二项式 ( a + b ) 2 {\displaystyle \left(a+b\right)^{2}} 展开形式 a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}} 的系数。