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常微分方程式の説明

日本語名詞常微分方程式（じょうびぶんほうていしき）一変数関数とその導関数からなる方程式。関連語偏微分方程式翻訳ポルトガル語: equação diferencial ordinária (pt) スウェーデン語: ordinär differentialekvation (sv)

常微分方程式（じょうびぶんほうていしき、英: ordinary differential equation, O.D.E.）とは、数学において、未知関数とその導関数からなる等式で定義される方程式である微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 t の未知関数 x(t) に対して、（既知の）関数 F を用いて F ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n ) ( t ) ) = 0 ( x ( k ) ( t ) := d k d t k x ( t ) , f o r k = 0 , 1 , … , n . ) {\displaystyle F(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n)}(t))=0\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n.\right)} という形にできるような関数方程式を常微分方程式と呼ぶ。x(k)(t) は未知関数 x(t) の k 階の導関数である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトルの記法を用いて表せば次のようになる。 F ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n ) ( t ) ) = 0 ( x ( k ) ( t ) := d k d t k x ( t ) , f o r k = 0 , 1 , … , n . ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))={\boldsymbol {0}}\quad \left({\boldsymbol {x}}^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}{\boldsymbol {x}}(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n.\right)} ここで F, x は F ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n ) ( t ) ) = ( F 1 ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n ) ( t ) ) , … , F r ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n ) ( t ) ) ) x ( t ) = ( x 1 ( t ) , … , x m ( t ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))=\left(F_{1}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t)),\dots ,F_{r}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))\right)\\&{\boldsymbol {x}}(t)=\left(x_{1}(t),\dots ,x_{m}(t)\right)\end{aligned}}} を表す。この方程式系はしばしば連立常微分方程式と呼ばれる。また、多くの n 階常微分方程式は次のような形に書くことができる。 x ( n ) ( t ) = f ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , … , x ( n − 1 ) ( t ) ) ( x ( k ) ( t ) := d k d t k x ( t ) , f o r k = 0 , 1 , … , n . ) . {\displaystyle x^{(n)}(t)=f(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n-1)}(t))\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n.\right).} 常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。