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丢番图方程の説明

Chinese

丟番圖方程（Diophantine equation），又稱不定方程，是未知数只能使用整數的整數係數多項式等式；即形式如 a 1 x 1 b 1 + a 2 x 2 b 2 + . . . . . . + a n x n b n = c {\displaystyle a_{1}x_{1}^{b_{1}}+a_{2}x_{2}^{b_{2}}+......+a_{n}x_{n}^{b_{n}}=c} 的等式，並且其中所有的 a j {\displaystyle a_{j}} 、 b j {\displaystyle b_{j}} 和 c {\displaystyle c} 均是整數。若其中能找到一組整數解 m 1 , m 2 . . . m n {\displaystyle m_{1},m_{2}...m_{n}} 者則稱之有整數解。丟番圖問題一般可以有數條等式，其數目比未知數的數目少；丟番圖問題要求找出對所有等式都成立的整數組合。换言之，丟番圖問題定義了代數曲綫或者代數曲面，或更爲一般的幾何形，要求找出其中的柵格點。對丟番圖問題的數學研究稱為丟番圖分析。綫性丟番圖方程爲綫性整數係數多項式等式，即此多項式爲次數爲0或1的單項式的和。丟番圖方程的名字來源於3世紀希臘數學家亞歷山大城的丟番圖，他曾對這些方程進行研究，並且是第一個將符號引入代數的數學家。關於丟番圖方程的理論的形成和發展是二十世紀數學一個很重要的發展。丟番圖方程的例子有貝祖等式、勾股定理的整數解、佩爾方程、四平方和定理和費馬最後定理等。