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海倫公式の説明

Chinese Pronunciation Proper noun 海倫公式 (Mainland China) Heron's formula Synonyms (Taiwan) 海龍公式／海龙公式

海伦公式（英語：Heron's formula或Hero's formula），又譯希罗公式、希倫公式。由古希臘數學家亞歷山大港的希羅發現，並在其於公元60年所著的《Metrica》中載有數學證明，原理是利用三角形的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的阿基米德已經了解這條公式，因为《Metrica》是一部古代數學知識的結集，该公式的發現時間很有可能先於希羅的著作。假設有一個三角形，邊長分別為 a , b , c {\displaystyle a,b,c} ，三角形的面積 A {\displaystyle A} 可由以下公式求得： A = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} ，其中 s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} 中国南宋末年數學家秦九韶发现或知道等價的公式，其著作《數書九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂併大斜幂，減中斜幂，餘半之，自乘於上；以小斜幂乘大斜幂，減上，餘四約之，爲實，一為從隅，開平方，得積。”若以大斜记为 a {\displaystyle a} ，中斜记为 b {\displaystyle b} ，小斜记为 c {\displaystyle c} ，秦九韶的方法相当于下面的一般公式： A = 1 4 [ a 2 c 2 − ( a 2 + c 2 − b 2 2 ) 2 ] {\displaystyle A={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}} ，其中 a ≥ b ≥ c {\displaystyle a\geq b\geq c} 像其他中國古代的數學家一样，他的方法沒有證明。根據现代數學家吴文俊的研究，秦九韶公式可由出入相補原理得出。由於任何 n {\displaystyle n} 边的多邊形都可以分割成 n − 2 {\displaystyle n-2} 个三角形，所以海伦公式可以用作求多邊形面積的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。