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横截面

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横截面

横截面の説明

Chinese

截面（英語：Cross section）為一幾何學名詞，是指一三維空間下的物體和一平面相交所產生交集。截面的面積稱為截面積，被截面分离的物体称为截面体。祖暅原理說明若兩個固體對應的截面積相等，則其體積相等。一物體以特定角度觀看時的截面積（ A ′ {\displaystyle A'} ）是該物體在此角度下正交投影的總面積。例如一高為h，半徑為r的圓柱，若沿著其中心軸，其截面積 A ′ = π r 2 {\displaystyle A'=\pi r^{2}} ，若沿著任一個和中心軸垂直的線，其截面積 A ′ = 2 r h {\displaystyle A'=2rh} 。一個半徑為r的球體，在任意角度下的截面積均為 A ′ = π r 2 {\displaystyle A'=\pi r^{2}} 。一物體的截面積可由下式的曲面積分求得： A ′ = ∬ t o p d A ⋅ r ^ , {\displaystyle A'=\iint \limits _{\mathrm {top} }d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} ,} 其中 r ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} } 為沿著指定方向的單位向量 d A {\displaystyle d\mathbf {A} } 是單位表面積向量，向量方向為往外的法向量。而且上述積分只針對物體最上方的表面，也就是以觀者角度可見的那一面。對於一個凸体的物體，從觀者角度到物體的射線都會和物體的表面交會二次。因此上述積分可以以取絕對值的方式，針對整個表面計算，再除以2得到截面積如下： A ′ = 1 2 ∬ A | d A ⋅ r ^ | {\displaystyle A'={\frac {1}{2}}\iint \limits _{A}|d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} |}