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无穷级数

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无穷级数

无穷级数の説明

Chinese

级数（英語：Series）是数学中一个有穷或无穷的序列例如 u 1 , u 2 , u 3 , u 4 … {\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\ldots } 之和，即 s = u 1 + u 2 + u 3 + … {\displaystyle s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots } ，如果序列是有穷序列，其和称为有穷级数；反之，称为无穷级数（一般也简称为级数）。序列 u 0 , u 1 , u 2 , … {\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\ldots } 中的项称作级数的通项（或一般项）。级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。一般的，如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。无穷级数有发散和收敛的区别，称为无穷级数的敛散性。判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。无穷级数在收敛时才會有一个和；发散的无穷级数在一般意义上没有和，但可以用一些别的方式来定义。无穷级数的研究更多的需要数学分析的方法来解决。无穷级数一般写作 u 1 + u 2 + u 3 + … {\displaystyle \textstyle u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots } 、 ∑ u n {\displaystyle \textstyle \sum u_{n}} 或者 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} ，级数收敛时，其和通常被表示为 s = ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle s=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} ，其中符号 ∑ {\displaystyle \sum } 称为求和号。