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同値類

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同値類

同値類の説明

日本語 名詞 同値類（どうちるい） (集合論, 代数学) ある集合の各要素から、ある同値関係を満たす要素のみを抜き出して作る部分集合。 関連語 類別、代表元、商集合、完全代表系 翻訳 英語：equivalence class

数学において，ある集合 S の元が（同値関係として定式化される）同値の概念を持つとき，集合 S を同値類（どうちるい，英: equivalence class）たちに自然に分割できる．これらの同値類は，元 a と b が同じ同値類に属するのは a と b が同値であるとき，かつそのときに限るものとして構成される． フォーマルには，集合 S と S 上の同値関係 ∼ が与えられたとき，元 a の S における同値類は，a に同値な元全体の集合 { x ∈ S ∣ x ∼ a } {\displaystyle \{x\in S\mid x\sim a\}} である．「同値関係」の定義から同値類は S の分割をなす．この分割，同値類たちの集合，を S の ∼ による商集合 (quotient set) あるいは商空間 (quotient space) と呼び，S/∼ と表記する． 集合 S が（群演算や位相のような）構造を持ち，同値関係 ∼ がこの構造と適切に両立するように定義されているとき，商集合はしばしばもとの集合から類似の構造を引き継ぐ．例としては，線型代数学における商空間，位相空間論における商空間，商群，等質空間，商環，商モノイド，商圏など．

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