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单位矩阵

单位矩阵の説明

Chinese

在線性代數中， n {\displaystyle n} 階單位矩陣，是一個 n × n {\displaystyle n\times n} 的方形矩陣，其主對角線元素為1，其餘元素為0。單位矩陣以 I n {\displaystyle I_{n}} 表示；如果階數可忽略，或可由前後文確定的話，也可簡記為 I {\displaystyle I} （或者 E {\displaystyle E} ）。（在部分領域中，如量子力學，單位矩陣是以粗體字的1表示，否則無法與 I {\displaystyle I} 作區別。） I 1 = [ 1 ] , I 2 = [ 1 0 0 1 ] , I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] , ⋯ , I n = [ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ] {\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}} 一些數學書籍使用 U {\displaystyle U} 和 E {\displaystyle E} （分別意為「單位矩陣」和「基本矩陣」），不過 I {\displaystyle I} 更加普遍。 特別是單位矩陣作為所有 n {\displaystyle n} 階矩陣的環的單位，以及作為由所有 n {\displaystyle n} 階可逆矩陣構成的一般線性群 G L ( n ) {\displaystyle GL(n)} 的單位元（單位矩陣明顯可逆，單位矩陣乘自己，仍是單位矩陣）。 這些 n {\displaystyle n} 階矩陣經常表示來自 n {\displaystyle n} 維向量空間自己的線性變換， I n {\displaystyle I_{n}} 表示恆等函數，而不理會基。 有時使用這個記法簡潔的描述對角線矩陣，寫作： I n = diag ⁡ ( 1 , 1 , . . . , 1 ) {\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,...,1)} 也可以克羅內克爾δ記法寫作： ( I n ) i j = δ i j {\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}}

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