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二項式係數の説明

Chinese Pronunciation Noun 二項式係數 (combinatorics) binomial coefficient

在數學上，二項式係數是二項式定理中各項的係數。一般而言，二項式係數由兩個非負整數 n {\displaystyle n} 和 k {\displaystyle k} 為參數決定，寫作 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} ，定義為 ( 1 + x ) n {\displaystyle (1+x)^{n}} 的多項式展開式中， x k {\displaystyle x^{k}} 項的係數，因此一定是非負整數。如果將二項式係數 ( n 0 ) , ( n 1 ) , … , ( n n ) {\displaystyle {\binom {n}{0}},{\binom {n}{1}},\dots ,{\binom {n}{n}}} 寫成一行，再依照 n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\dots } 順序由上往下排列，則構成帕斯卡三角形。二項式係數常見於各數學領域中，尤其是組合數學。事實上， ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 可以被理解為從 n {\displaystyle n} 個相異元素中取出 k {\displaystyle k} 個元素的方法數，所以 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 大多讀作「 n {\displaystyle n} 取 k {\displaystyle k} 」。二項式係數 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 的定義可以推廣至 n {\displaystyle n} 是複數的情況，而且仍然被稱為二項式係數。