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一阶逻辑

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一阶逻辑

一阶逻辑の説明

Chinese

一阶逻辑是使用於数学、哲学、语言学及電腦科學中的一种形式系统，也可以稱為：一阶斷言演算、低階斷言演算、量化理論或谓词逻辑。一階邏輯和命題邏輯的不同之處在於，一階邏輯包含量詞。高階邏輯和一階邏輯不同之處在於，高階邏輯的斷言符號可以有斷言符號或函數符號當做引數，且容許斷言量詞或函數量詞。在一階邏輯的語義中，斷言被解釋為關係。而高階邏輯的語義裡，斷言則會被解釋為集合的集合。在通常的語義下，一階邏輯是可靠（所有可證的敘述皆為真）且完備（所有為真的敘述皆可證）的。雖然一階邏輯的邏輯歸結只是半可判定性的，但還是有許多用於一階邏輯上的自動定理證明。一階邏輯也符合一些使其能通過證明論分析的元邏輯定理，如勒文海姆–斯科倫定理及緊緻性定理。一階邏輯是數學基礎中很重要的一部份。許多常見的公理系統，如一階皮亞諾公理、冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论和策梅洛-弗蘭克爾集合論都是一階理論。然而一階邏輯不能控制其無窮模型的基數大小，因根據勒文海姆–斯科倫定理和康托爾定理，可以構造出一種“病態”集合論模型，使整個模型可數，但模型內卻會覺得自己有「不可數集」。類似地，可以證明實數系的普通一階理論既有可數模型又有不可數模型。這類的悖論被稱為斯科倫悖論。但一階的直覺主義邏輯裡，勒文海姆–斯科倫定理不可證明，故不會有以上之現象。