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開集合

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開集合

開集合の説明

日本語名詞開集合（かいしゅうごう）（数学）ある集合の部分集合の族が以下の条件を満たすとき、その部分集合族に属するそれぞれの部分集合のこと。1) 部分集合族は、もとの全体集合と空集合を含む。2) 部分集合族に属する集合の有限個または無限個から成る和集合は、部分集合族に属する。3) 部分集合族に属する集合の有限個から成る共通集合は、部分集合族に属する。開集合の補集合をとると、その補集合は閉集合となる性質を持つ。また、ある集合が開集合であればその集合の開核と同一である。関連語位相、閉集合、開区間翻訳英語: open set

数学の位相空間論における開集合（かいしゅうごう、英: open set）は、実数直線における開区間の概念を一般化する概念である。もっとも簡単な例は距離空間における場合で、そこでは開集合の概念は、各点を中心とする球体を含むような部分集合と一致する。しかし、一般には開集合は非常に抽象的なもので、「開集合の任意個の合併は開集合である」「開集合の有限個の交わりは開集合である」「全体空間は開集合である」という性質を満たす限りにおいて任意の集合族を開集合族とすることができる。空間に対する開集合族の選び方の各々は位相と呼ばれる（位相の特徴付けの項も参照せよ）。全ての集合には、任意の部分集合が開集合である離散位相と、空集合と全体集合のみを開集合とする密着位相という、二つの自明な位相が定義できる。しかし実用上は、離散位相と密着位相の中間にある非自明な位相を考えることが多く、開集合の概念は位相空間における点の「近さ」について述べる方法を提供する基本的な道具立てである。開集合族がひとたび決められたならば、近さの概念を言い表すのに用いられる連続性・連結性およびコンパクト性が定義される。開集合およびそれを含む位相の概念は点集合位相において中心的な重要性を持つものであるが、数学の他の主要分野における構造化の道具としても用いられる。そのような位相の例には、代数幾何学におけるザリスキー位相（代数多様体の代数的特性を反映する）や、微分位相幾何学における可微分多様体上の位相（空間内の各点が有限次元ユークリッド空間内の開球体に同相な近傍を持つ）などがある。