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约化质量

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约化质量

约化质量の説明

Chinese

在牛頓力學裏，約化質量（英語：reduced mass），也称作折合质量、減縮質量，是出現於二體問題的「有效」慣性質量。這是一個因次為質量的物理量，使二體問題能夠被變換為一體問題。假設有兩個物體，質量分別為 m 1 {\displaystyle m_{1}\!\,} 與 m 2 {\displaystyle m_{2}\!\,} ，環繞著兩個物體的質心運行於各自的軌道。那麼，等價的一體問題中，物體的質量就是約化質量 μ {\displaystyle \mu \!\,} ，計算的方程式為 μ = 1 1 m 1 + 1 m 2 = m 1 m 2 m 1 + m 2 {\displaystyle \mu ={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\!\,} 。這結果可以很容易地證明出來．用牛頓第二定律，物體 2 施於物體 1 的作用力， F 12 = m 1 a 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}\!\,} 。物體 1 施於物體 2 的作用力， F 21 = m 2 a 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}\!\,} 。依據牛頓第三定律，作用力與反作用力，大小相等，方向相反： F 12 = − F 21 {\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}\!\,} 。所以， m 1 a 1 = − m 2 a 2 {\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}\!\,} 。兩個物體的相對加速度為 a = a 1 − a 2 = ( 1 + m 1 m 2 ) a 1 = ( m 2 + m 1 m 1 m 2 ) m 1 a 1 = F 12 μ {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=({1+{m_{1} \over m_{2}}})\mathbf {a} _{1}=({{m_{2}+m_{1}} \over {m_{1}m_{2}}})m_{1}\mathbf {a} _{1}={\cfrac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}\!\,} 。所以，我們總結，物體 1 相對於物體 2 的運動，就好似一個質量為約化質量的物體的運動。約化質量通常用希臘字母 μ {\displaystyle \mu \!\,} 來標記。這兩個物體中，任何一個物體的質量，都大於約化質量。假若物體 1 的質量超大於物體 2 的質量， m 1 ≫ m 2 {\displaystyle m_{1}\gg m_{2}\!\,} ，則可以取物體 2 的質量為約化質量的近似值： m 2 ≈ μ {\displaystyle m_{2}\approx \mu \!\,} ；也可以視物體 1 為固定的，只有物體 2 在移動。