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結合法則

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結合法則

結合法則の説明

日本語 名詞 結合法則（けつごうほうそく） (代数学) 同じ二項演算を繰り返すときに、どの演算から実施しても同じ結果となること。二項演算を ◦ とし、◦ が定義された集合 A の3要素を a, b, c とすると、(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) を満たすこと。結合律、結合則。 関連語 交換法則 分配法則 翻訳 英語：associative law

数学における結合性（けつごうせい、英: associative property, associativity）は、一部の二項演算が持つ性質である。演算が結合的であるために満たされるべき条件を結合法則（けつごうほうそく、英: associative law; 結合律、結合則）という。命題論理において、結合則（結合規則）は形式的証明における式に対する妥当な置換規則のひとつに挙げられる。 ひとつの式の中に同じ結合的演算が一度に複数現れる場合、それらの演算を施す順番は、被演算子の並びの順を変えない限りにおいて、結果に影響を与えない。つまり、（必要ならば中置記法と括弧を使った式に書き換えて）そのような式における括弧の位置を入れ替えても、式の値は変わることはない。例えば、等式: や を例にとると、各行とも左辺と中辺で括弧の位置が変わっている（そして被演算子の現れる位置は変わっていない）けれども、その値である右辺は変わりないことを述べている。このような関係式は、被演算子を任意の実数とする加法や乗法を計算する限りにおいて満足されるから、それを「実数の加法および乗法は結合的（演算）である」とか、「実数の加法および乗法は（実数全体の成す集合上で）結合法則を満足する」などと言い表す。 結合性は、「二つの被演算子の現れる位置を入れ替えても結果が変わらない」ことを意味する可換則とは異なる。例えば、実数の乗法が可換演算であるのは、実数の乗法において被演算子の順番を変えてもよいこと—つまり a × b = b × a—が満足されることによる。 結合的演算は数学において遍く存在する。事実として、多くの代数的構造（例えば半群や圏）では、それらの持つ二項演算が結合的であることを明示的に要請される。 とはいえ、重要で意義のある非結合的演算もたくさん存在する。例えば減法、冪演算、ベクトルの交叉積などはそうである。

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