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矩阵の説明

中国語名詞矩阵 (繁): 矩陣 (ピンイン:jǔzhèn　注音符号:ㄐㄩˇㄓㄣˋ) （数学）行列

數學上，一個 m × n {\displaystyle m\times n} 的矩陣是一个有 m {\displaystyle m} 行（row） n {\displaystyle n} 列（column）元素的矩形阵列。矩陣裡的元素可以是数字或符号甚至是函数。 [ a 11 a 12 a 13 … a 1 j … a 1 n a 21 a 22 a 23 … a 2 j … a 2 n a 31 a 32 a 33 … a 3 j … a 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a i 1 a i 2 a i 3 … a i j … a i n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 a m 3 … a m j … a m n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1j}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\dots &a_{2j}&\dots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots &a_{3j}&\dots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&a_{i3}&\dots &a_{ij}&\dots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\dots &a_{mj}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}} 大小相同（行数列数都相同）的矩阵之间可以相互加减，具体是对每个位置上的元素做加减法。矩阵的乘法则较为复杂。两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换，即是诸如 f ( x ) = 4 x {\displaystyle f(x)=4x} 之类的線性函數的推广。设定基底后，某个向量 v {\displaystyle \mathrm {v} } 可以表示为 m × 1 {\displaystyle m\times 1} 的矩阵，而线性变换 f {\displaystyle f} 可以表示为列数为 m {\displaystyle m} 的矩阵 A {\displaystyle A} ，使得经过变换后得到的向量 f ( v ) {\displaystyle f(\mathrm {v} )} 可以表示成 A v {\displaystyle A\mathrm {v} } 的形式。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性。矩陣是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵在力学、电路学、光学和量子物理等領域中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，請參考矩陣理論。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。