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直積集合

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直積集合

直積集合の説明

日本語名詞直積集合（ちょくせきしゅうごう）（数学）複数の集合からそれぞれの要素を一つずつ取り出して順序を決めた組にし、考えられる全ての組を作り、それぞれの組を改めて一つの要素として持つ集合。例えば、集合 A = {1, 2, 3} と集合 B = {4, 5, 6} に対して、直積集合 A × B は (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6) という9つの組を要素とする集合。積集合、単に直積ともいう。

数学において、集合のデカルト積（デカルトせき、英: Cartesian product）または直積（ちょくせき、英: direct product）、直積集合、または単に積（せき、英: product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。具体的に二つの集合 A, B に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 a ∈ A, b ∈ B の順序対 (a, b) 全てからなる集合をいう。集合の組立記法では A × B = { ( a , b ) ∣ a ∈ A ∧ b ∈ B } {\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}} と書くことができる。有限個の集合の直積 A1×⋯×An も同様の n-組からなる集合として定義されるが、二つの集合の直積を入れ子 (nested) にして、(A1 × ⋯ × An−1)× An と帰納的に定めることもできる。