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楕円積分

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楕円積分

楕円積分の説明

日语だ円積分【楕えんせきぶん】椭圆积分。

以下の定積分をそれぞれ、第一種、第二種、第三種の楕円積分（だえんせきぶん、英: elliptic integral）という。ただし、 − 1 ≤ k ≤ 1 {\displaystyle -1\leq k\leq 1} である。 F ( x , k ) = ∫ 0 x d t ( 1 − t 2 ) ( 1 − k 2 t 2 ) E ( x , k ) = ∫ 0 x 1 − k 2 t 2 1 − t 2 d t Π ( a ; x , k ) = ∫ 0 x d t ( 1 − a t 2 ) ( 1 − t 2 ) ( 1 − k 2 t 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}F(x,k)&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\\E(x,k)&=\int _{0}^{x}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}~dt\\\Pi (a;x,k)&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{(1-at^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}\end{aligned}}} 定数 k {\displaystyle k} を母数（modulus）、 a {\displaystyle a} を特性（characteristic）という。母数 k {\displaystyle k} の代わりにパラメーター m = k 2 {\displaystyle m=k^{2}} 、あるいはモジュラー角 α = sin − 1 ⁡ k {\displaystyle \alpha =\sin ^{-1}k} を用いることもあり、慣れない人を混乱させる種になっている。日本語の場合は、特性 a {\displaystyle a} を助変数（通常はparameterの訳語）と称することもあるので更に注意が必要である。楕円の弧長など、三次式、或いは四次式の平方根の積分や五次以上の高次方程式は楕円積分に帰着し、初等的に求まらないことが知られている。