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可換群

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可換群

可換群の説明

日本語名詞可換群（かかんぐん） (代数学) 交換律が成り立つ群。二項演算を ◦ とすると、任意の要素 a, b について a ◦ b = b ◦ a が成り立つ群。アーベル群。翻訳英語：commutative group, abelian group

数学、とくに抽象代数学におけるアーベル群（アーベルぐん、英: abelian group）または可換群（かかんぐん、英: commutative group）は、群演算が可換な群、すなわちどの二つの元の積も掛ける順番に依らず定まる群を言う。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む。アーベル群は環や体、環上の加群やベクトル空間といった抽象代数学の概念において、その基礎となる加法に関する群（加法群）としてしばしば生じる。任意の抽象アーベル群についても、しばしば加法的な記法（例えば群演算は "+" を用いて表され、逆元は負符号を元の前に付けることで表す）が用いられ、その場合に用語の濫用で「加法群」と呼ばれることがある。また任意のアーベル群は整数全体の成す環 Z 上の加群とみることができ、その意味でやはり用語の濫用だがアーベル群のことを「加群」と呼ぶこともある。一般に可換群は非可換群に比べて著しく容易であり、とくに有限アーベル群の構造は具さに知られているが、それでも無限アーベル群論はいまなお活発な研究領域である。