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内積

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内積

内積の説明

日本語 名詞 内積（ないせき） 体 K 上の数ベクトル空間 V において、任意の2つのベクトル A, B から以下の性質を満たす写像⟨A • B⟩: V × V → K によって得られるスカラー。ここで、オーバーラインは複素共役、ℜ≥0 は非負の実数、C は V の任意の元、c は K の任意の元、O はゼロベクトル。 (1) ⟨ A ∙ B ⟩ = ⟨ B ∙ A ⟩ ¯ {\displaystyle \left\langle A\bullet B\right\rangle ={\overline {\left\langle B\bullet A\right\rangle }}} (2) ⟨ A + C ∙ B ⟩ = ⟨ A ∙ B ⟩ + ⟨ C ∙ B ⟩ {\displaystyle \left\langle A+C\bullet B\right\rangle =\left\langle A\bullet B\right\rangle +\left\langle C\bullet B\right\rangle } (3) ⟨ c A ∙ B ⟩ = c ⟨ A ∙ B ⟩ {\displaystyle \left\langle cA\bullet B\right\rangle =c\left\langle A\bullet B\right\rangle } (4) ⟨ A ∙ A ⟩ ∈ ℜ ≥ 0 {\displaystyle \left\langle A\bullet A\right\rangle \in \Re _{\geq 0}} (5) ⟨ A ∙ A ⟩ = 0 {\displaystyle \left\langle A\bullet A\right\rangle =0} の必要十分条件は A = O {\displaystyle A=O} ただし、(3)は次の(3)'でもよい。 (3)' ⟨ A ∙ c B ⟩ = c ⟨ A ∙ B ⟩ {\displaystyle \left\langle A\bullet cB\right\rangle =c\left\langle A\bullet B\right\rangle } 初等数学における標準内積。 下位語 実内積 エルミート内積、複素内積 標準内積、ユークリッド内積、スカラー積、ドット積 標準エルミート内積、標準複素内積 関連語 • 内積空間 翻訳 英語: inner product

線型代数学における内積（ないせき、英: inner product）は、（実または複素）ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式（実係数の場合には対称双線型形式）のことである。二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるためスカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。内積を備えるベクトル空間は内積空間と呼ばれ、内積の定める計量を持つ幾何学的な空間と見做される。エルミート半双線型形式の意味での内積はしばしば、エルミート内積またはユニタリ内積と呼ばれる。

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