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二項関係

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二項関係の説明

日本語異表記・別形 2項関係名詞二項関係（にこうかんけい）数値 3 と 3 は等しい、数値 4 は 5 よりも小さい、三角形 ABC と三角形 BCA は合同である、直線 A と直線 B が成す角は直角であるなどの、満たすか満たさないかを決めることができる2つの要素の関係を一般化した概念。ある集合自身の直積集合の部分集合。R ⊆ A × A に対して、a, b ∈ A の順序対 (a, b) が (a, b) ∈ R であるとき (a, b) には R で定義される関係があり、(a, b) ∉ R であるとき (a, b) には R で定義される関係がない。上位語関係下位語同値関係、順序関係用法二項関係を表す記号には R や ∼ が用いられ、a R b や a ∼ b で、(a, b) ∈ R または (a, b) ∈ ∼ を意味する。翻訳英語：binary relation

数学において、二項関係（にこうかんけい、英: binary relation）あるいは二変数関係 (dyadic relation, 2-place relation) は、集合 A の元からなる順序対のあつまりである。別な言い方をすれば、直積集合 A2 = A × A の部分集合を、集合 A 上の二項関係と呼ぶ。あるいはもっと一般に、二つの集合 A, B に対して、A と B との間の二項関係とは、直積 A × B の部分集合のことをいう。二項関係の一つの例は素数全体の成す集合 P と整数全体の成す集合 Z の間の整除関係である。この整除関係では任意の素数 p は、p の倍数である任意の整数 z に関係を持ち、倍数でない整数には関係しないものとして扱われる。例えば、素数 2 が関係を持つ整数には −4, 0, 6, 10 などが含まれるが 1 や 9 は含まれない。同様に素数 3 が関係する整数として 0, 6, 9 などが挙げられるが、4 や 13 はそうでない。二項関係は数学のさまざまな分野で用いられ、不等関係、恒等関係、算術の整除関係、初等幾何学の合同関係、グラフ理論の隣接関係、線型代数学の直交関係などのさまざまな概念が二項関係として定式化することができる。また、写像の概念を特別な種類の二項関係として定義することもできる。二項関係は計算機科学においても重用される。二項関係は n-項関係 R ⊆ A1 × ⋯ × An（各 j-番目の成分が関係の j-番目の始集合 Aj からとられているような n-組からなる集合）で n = 2 とした特別の場合である。ある種の公理的集合論では（集合の一般化としての）類の上の関係を考えることができる。このような拡張は、集合論における元の帰属関係や包含関係の概念（に限った話ではないが）のモデル化を、ラッセルの逆理のような論理矛盾に陥らずに行うために必要である。