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阶乘の説明

中国語名詞阶乘 (繁): 階乘 (ピンイン:jiēchéng　注音符号:ㄐㄧㄝㄔㄥˊ) 階乗

在數學中，正整数的階乘（英語：Factorial）是所有小於等於該數的正整數的積，計為 n ! n! ，例如5的階乘表示為 5 ! {\displaystyle 5!} ，其值為120： 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 {\displaystyle 5!={{{{{5}\times {4}}\times {3}}\times {2}}\times {1}}=120} 並定義，1的階乘 1 ! {\displaystyle 1!} 和0的階乘 0 ! {\displaystyle 0!} 都為1，其中0的階乘表示一個空積。 1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法： n ! = ∏ k = 1 n k ∀ n ≥ 1 n!=\prod _{k=1}^{n}k\quad \forall n\geq 1 ，符號 Π \Pi 表示連續乘積，亦即 n ! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × n {\displaystyle n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n} 。階乘亦可以遞迴方式定義： 0 ! = 1 0!=1 ， n ! = ( n − 1 ) ! × n {\displaystyle n!=(n-1)!\times n} 。除了自然數之外，階乘亦可定義于整個實數（負整數除外），其与伽瑪函數的关系为： z ! = Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ t z e − t d t z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt 階乘應用在許多數學領域中，最常應用在組合學、代數學和数学分析中。在組合學中，階乘代表的意義為 n n 個相異物件任意排列的數量，例如前述例子， 5 ! = 120 {\displaystyle 5!=120} 其代表了5個相異物件共有120種排列法。在正整數的情形下， n n 的階乘又可以稱為n的排列數。